1 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών
1.1 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών
1.1.1 Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες
- Ορισμός: Ένας πολύ μεγάλος αριθμός γράφεται σε τυποποιημένη μορφή όταν εκφράζεται ως γινόμενο ενός αριθμού \(\alpha\) επί μια δύναμη του 10 με εκθέτη φυσικό αριθμό \(ν\) (μορφή: \(\alpha \cdot 10^ν\)).
\[\boxed{{\color{#0033cc} {α\cdot10^ν}}} \]
Περιορισμοί του \(\alpha\): Ο αριθμός \(\alpha\) πρέπει να είναι ένας δεκαδικός ή φυσικός αριθμός, ο οποίος έχει ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο στο ακέραιο μέρος του. Συγκεκριμένα, ισχύει \(1 \leq \alpha < 10\).
Σκοπός χρήσης: Η μορφή αυτή χρησιμοποιείται για τη συνοπτική και κατανοητή αναπαράσταση αριθμών με πάρα πολλά ψηφία, όπως οι μάζες των πλανητών ή οι αστρονομικές αποστάσεις, διευκολύνοντας την απομνημόνευση και τις πράξεις.
Κανόνας Μετατροπής για Μεγάλους Αριθμούς:
- Τοποθετούμε την υποδιαστολή μετά το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού (από τα αριστερά).
- Μετράμε πόσες θέσεις μετακινήθηκε η υποδιαστολή προς τα αριστερά από την αρχική της θέση (το τέλος του αριθμού).
- Το πλήθος των θέσεων αυτών αποτελεί τον θετικό εκθέτη \(ν\) της δύναμης του \(10\).
Πλεονεκτήματα: Η τυποποιημένη μορφή διευκολύνει τη σύγκριση μεγεθών μέσω της σύγκρισης των εκθετών και απλοποιεί τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, οι οποίες ανάγονται σε προσθέσεις ή αφαιρέσεις των εκθετών.
Η χρήση αυτής της μορφής απλοποιεί σημαντικά τις μαθηματικές πράξεις, καθώς μετατρέπει τους υπολογισμούς με μεγάλους αριθμούς σε απλούστερες πράξεις με τους εκθέτες των δυνάμεων του 10.
Στον πολλαπλασιασμό, πολλαπλασιάζουμε τους δεκαδικούς αριθμούς \(α\) μεταξύ τους και προσθέτουμε τους εκθέτες των δυνάμεων του 10, βασιζόμενοι στην ιδιότητα \[10^μ \cdot 10^ν = 10^{μ+ν}\].
Στη διαίρεση, διαιρούμε τους δεκαδικούς αριθμούς \(α\) και αφαιρούμε τον εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου, σύμφωνα με την ιδιότητα \[10^μ : 10^ν = 10^{μ-ν}\].
Αν μετά την πράξη ο δεκαδικός αριθμός \(α\) που προκύπτει δεν είναι μεταξύ του 1 και του 10, μετακινούμε κατάλληλα την υποδιαστολή και αυξάνουμε ή μειώνουμε τον εκθέτη της δύναμης του 10, ώστε ο αριθμός να επανέλθει στην ορθή τυποποιημένη μορφή.
Η μέθοδος αυτή διευκολύνει επίσης τη σύγκριση μεγεθών, καθώς η σύγκριση των εκθετών είναι αρκετή για να προσδιορίσουμε αμέσως την τάξη μεγέθους.
Για παράδειγμα, η απόσταση Γης-Ήλιου (\(1,5 \cdot 10^8\) km) ή ο αριθμός Avogadro (\(6,022 \cdot 10^{23}\)) εκφράζονται με αυτόν τον τρόπο για να είναι πιο κατανοητοί και εύχρηστοι στους υπολογισμούς,. Όταν χρησιμοποιούμε υπολογιστή τσέπης για τέτοιες πράξεις, πρέπει να θυμόμαστε ότι η συσκευή ακολουθεί την ιεραρχία των πράξεων, εκτελώντας πρώτα τις δυνάμεις και μετά τους πολλαπλασιασμούς ή τις διαιρέσεις.
1.1.2 Παραδείγματα
Ο αριθμός \(2.000\) σε τυποποιημένη μορφή γράφεται \(2 \cdot 10^3\).
Ο αριθμός \(521.000\) γράφεται \(5,21 \cdot 10^5\).
Ο αριθμός \(12.250 .000\) γράφεται \(1,225 \cdot 10^7\), καθώς υπάρχουν 7 ψηφία μετά το πρώτο ψηφίο (το 1).
Ο αριθμός \(3.140 .000 .000 .000 .000 .000\) γράφεται \(3,14 \cdot 10^{18}\).
Η μάζα της Γης (περίπου \(5.976.000.000.000.000.000.000.000\) κιλά) γράφεται \(5,976 \cdot 10^{24}\) kg.
Απόσταση Γης-Ήλιου: \(150.000.000\) km
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή από το τέλος \(8\) θέσεις αριστερά για να βρεθεί μετά το \(1\).
Αποτέλεσμα: \(1,5 \cdot 10^8\) km.
- Αριθμός Avogadro: \(6.022.000.000.000.000.000.000.000\)
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή \(23\) θέσεις αριστερά ώστε να έχουμε το \(6,022\).
Αποτέλεσμα: \(6,022 \cdot 10^{23}\).
- Ο αριθμός \(583.000\)
Λύση: Η υποδιαστολή μετακινείται \(5\) θέσεις αριστερά (\(5,83\)).
Αποτέλεσμα: \(5,83 \cdot 10^5\).
- Ο αριθμός \(4.300.000\)
Λύση: Η υποδιαστολή μετακινείται \(6\) θέσεις αριστερά (\(4,3\)).
Αποτέλεσμα: \(4,3 \cdot 10^6\).
- Ο αριθμός \(7.960.000\)
Λύση: Η υποδιαστολή μετακινείται \(6\) θέσεις αριστερά (\(7,96\)).
Αποτέλεσμα: \(7,96 \cdot 10^6\).
- Μάζα της Γης: \(5.976.000.000.000.000.000.000.000\) kg
Λύση: Η υποδιαστολή μετακινείται \(24\) θέσεις αριστερά για να μείνει το \(5,976\).
Αποτέλεσμα: \(5,976 \cdot 10^{24}\) kg.
- Απόσταση Γης-Σελήνης: \(384.400.000\) m
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή \(8\) θέσεις αριστερά για να έχουμε \(3,844\).
Αποτέλεσμα: \(3,844 \cdot 10^8\) m.
- Ηλικία της Γης: \(4.500.000.000\) έτη
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή \(9\) θέσεις αριστερά για να έχουμε \(4,5\).
Αποτέλεσμα: \(4,5 \cdot 10^9\) έτη.
- Μετατροπή σε δεκαδική μορφή: \(3,1 \cdot 10^6\)
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή \(6\) θέσεις δεξιά, προσθέτοντας μηδενικά όπου χρειάζεται.
Αποτέλεσμα: \(3.100.000\).
- Μετατροπή σε δεκαδική μορφή: \(4,820 \cdot 10^5\)
Λύση: Μετακινούμε την υποδιαστολή \(5\) θέσεις δεξιά.
Αποτέλεσμα: \(482.000\).
1.1.3 Ασκήσεις
Α. Γράψτε τους παρακάτω αριθμούς σε τυποποιημένη μορφή:
\(4.000\)
\(452.000\)
\(6.250 .000\)
\(1.234 .567\)
\(150\)
\(583.000\)
\(7.960 .000\)
\(3.420 .000 .000\)
\(7.310\)
\(518.000 .000\)
Β. Γράψτε τη δεκαδική μορφή (τον πλήρη αριθμό) των παρακάτω:
\(3,1 \cdot 10^6\)
\(4,820 \cdot 10^5\)
\(3,25 \cdot 10^4\)
\(7,4 \cdot 10^3\)
\(9,2 \cdot 10^2\)
Γράψε τον αριθμό \(3.420.000.000\) σε τυποποιημένη μορφή.
Γράψε τον αριθμό \(518.000.000\) σε τυποποιημένη μορφή.
Γράψε τον αριθμό \(131.000\) σε τυποποιημένη μορφή.
Γράψε τον αριθμό \(675.000\) σε τυποποιημένη μορφή.
α. Το περίγειο Γης-Κρόνου είναι \(1,2\) δισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Μετάτρεψέ την σε τυποποιημένη μορφή
β. Το απόγειο Γης-Κρόνου είναι \(1,67\) δισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Μετάτρεψέ την σε τυποποιημένη μορφή.
Η ταχύτητα του φωτός είναι περίπου \(299.792.458\) m/s. Γράψε την κατά προσέγγιση σε τυποποιημένη μορφή.
Γράψε τον αριθμό \(7.310\) σε τυποποιημένη μορφή.
Μετάτρεψε τον αριθμό \(3,25 \cdot 10^4\) σε δεκαδική μορφή.
Μετάτρεψε τον αριθμό \(7,4 \cdot 10^3\) σε δεκαδική μορφή.
Μετάτρεψε τον αριθμό \(9,2 \cdot 10^2\) σε δεκαδική μορφή.
1.2 Ασκήσεων …. συνέχεια
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!